풀이의 세계
-
2021학년도 9월 모의평가 수학 가형 21번풀이의 세계 2020. 10. 6. 20:21
21. 닫힌구간 $[-2\pi,\,2\pi]$에서 정의된 두 함수 $$f(x) = \sin kx +2, \quad g(x) =3\cos 12x$$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 $k$의 개수는? [4점] 실수 $a$가 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 교점의 $y$좌표이면 $$\{x|f(x)=a\} \subset \{x|g(x)=a\}$$이다. $①\,3$ $②\,4$ $③\,5$ $④\,6$ $⑤\,7$ 더보기 [리뷰] 삼각함수의 주기성과 대칭성을 적극적으로 활용해야 하는 문제. 답을 어찌어찌 구할 수는 있으나 시험시간 내에 딱 떨어지는 깔끔한 풀이/논리를 떠올리기는 쉽지 않았을 듯하다. 그만큼 삼각함수를 소재로 한 기존의 전형적인 문제와는 거리가 있었다. 그래서인지 ebs 해설을 ..
-
2021학년도 경찰대 수학 25번풀이의 세계 2020. 8. 29. 23:25
25. 좌표평면 위에 5개의 점 $P_1(-2,1)$, $P_2(-1,2)$, $P_3(0,3)$, $P_4(1,2)$, $P_5(2,4)$가 있다. 점 $P_i(i=1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5)$의 $x$좌표를 $x_i$, $y$좌표를 $y_i$라 할 때, $\displaystyle \sum_{i=1}^5 (ax_i+b-y_i)^2$의 값이 최소가 되도록 하는 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오. [5점] 더보기 [리뷰] 외형상 이 문제는 대학에서 배우는 '선형회귀분석(linear regression analysis)'과 '최소제곱법(least squares method)'에 그 기반을 두고 있다. 난이도를 높이기 위해 인위적으로 만들어낸 문제가 아니라 실제로 대학에..
-
삼각함수의 적분 모음 #4풀이의 세계 2020. 8. 11. 01:12
(※본 포스트에서 $C$는 적분상수를 의미) 혼합형Ⅱ(다항함수와 삼각함수) $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{41.} \int x\sin x \,dx = -x\cos x +\sin x +C$$ 더보기 $$\begin{align}\int x\sin x \,dx &= x(-\cos x)-\int (-\cos x)\,dx \\[5pt]&= -x\cos x +\sin x +C \quad \blacksquare \end{align}$$ $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{42.} \int x\cos x \,dx = x\sin x + \cos x +C$$ 더보기 $$\begin{align} \int x\cos x \,dx &= x\sin x - \int \sin x \,dx \\[5pt]&= x\sin x +..
-
삼각함수의 적분 모음 #3풀이의 세계 2020. 7. 30. 19:00
역삼각함수 $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{31.} \int \arcsin x \,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C$$ 더보기 $\arcsin x = t$라고 하면 $x=\sin t$, $dx = \cos t \,dt$이므로 $$\begin{align} \int \arcsin x \,dx &= \int t \cos t \,dt \\[5pt]&= t\sin t -\int \sin t\,dt \\[5pt]&= t\sin t +{\color{#006dd7}\cos t} +C \\[5pt]&= x\arcsin x + {\color{#006dd7}\sqrt{1-x^2}} +C \quad \blacksquare \end{align}$$ $t=\arcsin x$로부터 $-\frac{\p..
-
삼각함수의 적분 모음 #2풀이의 세계 2020. 7. 29. 02:22
(※별도의 언급이 없으면 $n$은 자연수, $C$는 적분상수를 의미)삼각함수의 거듭제곱Ⅰ((2n-1)제곱형)$$\bbox[#FFFFCC,2pt]{21.} \int \sin^{2n-1} x \,dx = \sum_{k=0}^{n-1} \sideset{_{n-1}}{_k} {\mathrm{C}} \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}\cos^{2k+1}x+C$$더보기$$\begin{align} \int \sin^{2n-1} x \,dx &= \int (1-\cos^2 x)^{n-1} \sin x \,dx\\[5pt]&= \int (1-t^2)^{n-1} \,dt \quad (-\cos x=t\text{로 치환})\\[5pt]&=\int \left( \sum_{k=0}^{n-1} \sideset{_{n-1}..
-
삼각함수의 적분 모음 #1풀이의 세계 2020. 7. 27. 23:59
(※본 포스트에서 $C$는 적분상수를 의미) 기본 공식(미분 공식의 역방향) $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{1.} \int \sin x \,dx = -\cos x + C$$ $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{2.} \int \cos x \,dx= \sin x + C$$ $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{3.} \int \sec^2 x \,dx = \tan x + C$$ $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{4.} \int \sec x \tan x \,dx = \sec x +C$$ $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{5.} \int \csc^2 x \,dx = -\cot x +C$$ $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{6.} \int \csc x \cot x \,dx = -\csc x +..
-
극한 문제 #5풀이의 세계 2020. 7. 20. 00:24
5. 자연수 $n$에 대하여 함수 $y=\sin_n(x)$를 실수 전체의 집합에서 $$\sin_{n}(x)=\begin{cases}\sin x &(n=1\text{일 때})\\[5pt]\sin(\sin_{n-1}(x)) &(n > 2\text{일 때})\end{cases}$$와 같이 정의할 때, $\lim \limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin_n(2)}{\sin_n(1)}$의 값은? ① $0$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $1$ ④ $\dfrac{3}{2}$ ⑤ $2$ 더보기 [리뷰] (표현은 조금 다르지만) 제7회(1992년) 포항공대 수학경시대회에 출제된 바 있는 문제. 엄밀한 풀이를 위해서는 고등학교 과정 이상의 지식이 요구되지만, 답만 구하려면 직관으로 해결하고 넘어갈 수..
-
극한 문제 #4풀이의 세계 2020. 7. 17. 01:42
4. $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{\tan^2 x-\sin^2 x}{\cos(\tan x)-\cos(\sin x)}$의 값은? [3점] ① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$ 더보기 [리뷰] 로피탈의 정리를 사용하면 식이 더 복잡해지는 문제. 정석적인 풀이가 오히려 힘을 발휘한다. 답: ① $-2$ [풀이 1] 분모의 형태에서 착안해 삼각함수의 합차공식 중 $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{\cos A-\cos B=-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)}$$을 활용한다. 그러면 $$\begin{align}&\lim_{x\to 0}\frac{\tan^2 x-\sin^2 x}{\bbox[#F..