극한 문제 #4

4. $$의 값은? [3점]

 

① $$          ② $$          ③ $$          ④ $$          ⑤ $$

 

 

 

[리뷰] 로피탈의 정리를 사용하면 식이 더 복잡해지는 문제. 정석적인 풀이가 오히려 힘을 발휘한다.

답: ① $$

 

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[풀이 1] 분모의 형태에서 착안해 삼각함수의 합차공식 중 $$을 활용한다. 그러면

$$을 얻는다. 여기서 $$를 이용하면 $$이 된다. 따라서 답은 ① $$이다.

 

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[풀이 2] 이번에는 평균변화율과 평균값 정리를 이용해 문제에 접근한다.

우선, 극한 $$을 제외한 부분에서 평균변화율의 형태를 만들기 위해 함수를 $$로 잡는다. 그러면 $$이 되어, $$가 $$에서 $$로 변할 때의 $$의 평균변화율을 포함하는 식이 된다.

다음으로 평균값 정리를 적용해야 하는데, 그 전에 몇 가지 조건을 빠르게 확인한다. 일단, $$는 두 함수 $$와 $$의 합성인데, $$와 $$ 모두 각각의 정의역에서 연속이므로 $$는 연속함수이다. 또한 $$는 정의역 전체에서 미분가능하고 $$는 0을 제외한 영역에서 미분가능하므로, $$는 적어도 [0을 제외한 영역]에서 미분가능하다. 따라서 0을 끝점으로 가지는 정의역 내의 구간에서 평균값 정리를 적용할 수 있다. 이로부터 얻을 수 있는 결론은 $$를 만족시키는 $$가 $$와 $$ 사이에 존재한다는 것. 문제의 극한은 $$이 된다.

이제 알아야 할 것은 $$인데, $$에 따른 $$의 값을 특정하기 어렵기 때문에 이 극한을 직접 계산하기는 어렵다. 대신, $$가 0으로 갈 때 $$와 $$의 사잇값인 $$ 역시 0으로 간다(정확히 말하면, 0보다 큰 값을 가지면서 0으로 간다)는 점에 착안해서 $$을 계산한다. 이 극한이 수렴하면 $$도 같은 값으로 수렴할 것이다.

합성함수의 미분법을 사용하면 0보다 큰 실수 영역에 대한 $$의 도함수 $$를 구할 수 있으므로 $$임을 알 수 있다. 따라서 문제의 극한값은 $$이고, 답은 ①번이다. (논리를 구구절절 풀어 적어서 길어졌지만, 실질적인 계산과정만 놓고 보면 [풀이 1]보다도 빠른 풀이다.)