극한 문제 #5

5. 자연수 $n$에 대하여 함수 $y=\sin_n(x)$를 실수 전체의 집합에서 $$\sin_{n}(x)=\begin{cases}\sin x &(n=1\text{일 때})\\[5pt]\sin(\sin_{n-1}(x)) &(n > 2\text{일 때})\end{cases}$$와 같이 정의할 때, $\lim \limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin_n(2)}{\sin_n(1)}$의 값은?

 

① $0$        ② $\dfrac{1}{2}$        ③ $1$        ④ $\dfrac{3}{2}$        ⑤ $2$

 

 

 

[리뷰] (표현은 조금 다르지만) 제7회(1992년) 포항공대 수학경시대회에 출제된 바 있는 문제. 엄밀한 풀이를 위해서는 고등학교 과정 이상의 지식이 요구되지만, 답만 구하려면 직관으로 해결하고 넘어갈 수도 있다.

답: ③ $1$

 

---

[풀이 1] 풀이가 긴 관계로 단계를 $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$, $\mathrm{IV}$로 나누어 진행한다.

$\mathrm{I}.$ $\sin 1$, $\sin 2$와 $1$의 크기 비교

보각 공식에 따르면 $\sin 2=\sin(\pi-2)$인데, $\pi-2$는 대략 $1.1415\cdots$이므로

$${\color{#0000FF}1} < {\color{#0000FF}\pi -2} < {\color{#0000FF}\frac{\pi}{2}}$$이다. 그런데 폐구간 $\left[0\, ,\,\dfrac{\pi}{2}\right]$에서 $y=\sin x$가 증가하므로 $$\sin {\color{#0000FF}1} < \sin({\color{#0000FF}\pi -2}) < \sin{\color{#0000FF}\frac{\pi}{2}}$$이다. 이를 정리하면 $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{\sin 1} < \bbox[#FFFFCC,2pt]{\sin 2} < \bbox[#FFFFCC,2pt]{1}$$을 얻는다.

 

$\mathrm{II}.$ $\boxed{\lim \limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin_n (2)}{\sin_n (1)}}$ 에 관한 부등식 얻기

$\sin 1$, $\sin 2$, $1$은 모두 폐구간 $\left[0\, , \dfrac{\pi}{2}\right]$ 내에 있으므로 해당 구간에서 증가하는 사인함수에 각각을 대입하면 $$\sin_2(1) < \sin_2(2) < \sin 1$$을 얻는다. 그런데 이 수들 역시 모두 폐구간 $\left[0\, , \dfrac{\pi}{2}\right]$ 내에 있으므로 이 과정을 반복할 수 있다.

$$ \left. \begin{array}{c}\sin_3(1) < \sin_3 (2) < \sin_2 (1)\\[5pt]\sin_4 (1) < \sin_4 (2) < \sin_3(1)\\[5pt] \vdots \\[5pt]\sin_n (1) < \sin_n (2) < \sin_{n-1} (1)\end{array} \right. $$

 

이때 $\sin_n (1) > 0$이므로 부등식의 각 변을 $\sin_n (1)$으로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다. 따라서

$$1 < \frac{\sin_n (2)}{\sin_n (1)} < \frac{\sin_{n-1} (1)}{\sin_n (1)}$$이고, $n\to\infty$일 때의 극한을 취하면 $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{1} \leq \bbox[#FFFFCC]{\boxed{\lim_{n\to\infty} \frac{\sin_n(2)}{\sin_n(1)}}} \leq \bbox[#FFFFCC,2pt]{\lim_{n\to\infty} \frac{\sin_{n-1}(1)}{\sin_n(1)}}$$을 얻을 수 있다.

 

$\mathrm{III}.$ $\lim \limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin_{n-1}(1)}{\sin_{n}(1)}$ 구하기

이제 $\lim \limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin_{n-1}(1)}{\sin_n (1)}$의 극한값을 구해야 하는데, 극한이 마침 $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin_{n-1}(1)}{\sin_n(1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{{\color{#ee2323}\sin_{n-1}(1)}}{\sin({\color{#ee2323}\sin_{n-1}(1)})}$$의 형태이므로 $\lim \limits_{n\to\infty}\sin_{n}(1)$을 조사해본다.

 

$(\mathrm{i})$ $\lim \limits_{n\to\infty}\sin_{n}(1)$의 수렴성

우선, 엄밀하지는 않지만 직관적인 방법을 사용한다. 수열 $\{\sin_{n}(1)\}$은 다음의 식 $${\color{#0000FF}\sin_{n+1}(1)}=\sin({\color{#0000FF}\sin_{n}(1)})$$을 점화식으로 가지는데, 이는 두 함수 $y=x$와 $y=\sin x$의 그래프에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

파란색 선의 움직임을 살펴보면 $y=\sin x$ 위에서 출발하여 $y=x$를 만날 때까지 수평이동을 한 뒤, 다시 $y=\sin x$를 만날 때까지 수직이동을 하는데, 이는 ($y$ 좌표를 기준으로) ${\color{#0000FF}\sin_{n}(1)}$을 $y=\sin x$에 대입해 ${\color{#0000FF}\sin_{n+1}(1)}$을 얻는 작업에 해당한다.

이 작업을 계속 반복하면 다음과 같이 되는데

작업을 진행할수록 파란색 선이 두 그래프 $y=x$와 $y=\sin x$ 사이의 좁은 영역으로 끊임없이 들어가므로, 해당 수열이 어딘가로 수렴함을 '짐작'할 수 있다.

이를 엄밀하게 보이고 싶으면 '단조수렴정리(monotone convergence theorem)'를 이용하면 되는데, 이는 고등학교 과정을 넘어서는 것이므로 수능만 준비한다면 이런 내용으로 고민할 필요는 없겠다. 정리의 골자는 '단조증가(또는 단조감소)하는 수열이 어떤 값 이상으로 커지지 못하면(또는 어떤 값 이하로 작아지지 못하면), 해당 수열은 수렴한다'는 것이다. 이 정리를 적용해보면, 문제의 수열 $\{\sin_n(1)\}$은 감소수열이며 모든 항이 $0$보다는 작아질 수 없으므로 $\lim \limits_{n\to\infty}\sin_n(1)$이 수렴함을 알 수 있다.

 

$(\mathrm{ii})$ $\lim \limits_{n\to\infty}\sin_n(1)$의 값 구하기

수열 $\{\sin_n(1)\}$이 수렴하므로 구하고자 하는 극한값을 $\alpha$로 둘 수 있다. 이제 해당 수열의 점화식 $$\sin_{n+1}(1)=\sin(\sin_{n}(1))$$의 양변에 극한을 취하면

$$\begin{align} \lim \limits_{n\to\infty}\sin_{n+1}(1)&=\lim \limits_{n\to\infty}\sin(\sin_{n}(1))\\[5pt]\bbox[#FFFFCC,2pt]{\alpha}&=\sin\Bigl(\lim \limits_{n\to\infty}\sin_{n}(1)\Bigr)\\[5pt]&=\bbox[#FFFFCC,2pt]{\sin\alpha}\end{align}$$

을 얻는데, 이는 $\alpha$가 $y=x$와 $y=\sin x$의 그래프가 만나는 점의 $x$ 좌표라는 것을 의미한다. 그런데 두 그래프는 유일하게 원점 $\mathrm{O}$에서만 만나므로 $\alpha=0$이어야 한다.

$y=x$와 $y=\sin x$는 원점에서만 만난다.

따라서 $\lim \limits_{n\to\infty}\sin_n(1)=0$이 된다.

 

이제 이를 바탕으로 $\lim \limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin_{n-1}(1)}{\sin_{n}(1)}$의 값을 구하면 $$\begin{align}\bbox[#FFFFCC,2pt]{\lim_{n\to\infty}\frac{\sin_{n-1}(1)}{\sin_{n}(1)}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{{\color{#ee2323}\sin_{n-1}(1)}}{\sin({\color{#ee2323}\sin_{n-1}(1)})}\\[5pt]&=\lim_{x\to 0}\frac{{\color{#ee2323}x}}{\sin {\color{#ee2323}x}}=\bbox[#FFFFCC,2pt]{1}\end{align}$$이다.

 

$\mathrm{IV}.$ $\lim \limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin_n(2)}{\sin_n(1)}$의 값 구하기

이제 $\mathrm{II}$에서 얻은 부등식에 위의 결과를 대입하면 $$1 \leq \boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{\sin_n(2)}{\sin_n(1)}} \leq \lim_{n\to\infty}\frac{\sin_{n-1}(1)}{\sin_n(1)}=1$$이다. 따라서 $\bbox[#FFFFCC]{\boxed{\lim \limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin_n(2)}{\sin_n(1)}}}=\bbox[#FFFFCC,2pt]{1}$이고, 답은 ③번이다.

 

---

[참고 1]
비슷한 방법으로 다음의 결과를 얻을 수 있다: $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin_n(a)}{\sin_n(1)}=\begin{cases}\,\,\,\,1 & (0<\sin a \leq 1)\\[5pt]\,\,\,\,0 & (\sin a=0)\\[5pt]-1 & (-1\leq\sin a < 0)\end{cases}$$