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4. $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{\tan^2 x-\sin^2 x}{\cos(\tan x)-\cos(\sin x)}$의 값은? [3점]
① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$
더보기[리뷰] 로피탈의 정리를 사용하면 식이 더 복잡해지는 문제. 정석적인 풀이가 오히려 힘을 발휘한다.
답: ① $-2$
[풀이 1] 분모의 형태에서 착안해 삼각함수의 합차공식 중 $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{\cos A-\cos B=-2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)}$$을 활용한다. 그러면
$$\begin{align}&\lim_{x\to 0}\frac{\tan^2 x-\sin^2 x}{\bbox[#FFFFCC,2pt]{\cos(\tan x)-\cos(\sin x)}}\\[5pt]&=\lim_{x\to 0}\frac{\tan^2 x-\sin^2 x}{\bbox[#FFFFCC,2pt]{-2\sin\left(\frac{\tan x+\sin x}{2}\right)\sin\left(\frac{\tan x-\sin x}{2}\right)}}\\[5pt]&=-\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left[\frac{\tan x+\sin x}{\sin\left(\frac{\tan x+\sin x}{2}\right)}\cdot\frac{\tan x-\sin x}{\sin\left(\frac{\tan x-\sin x}{2}\right)}\right]\end{align}$$을 얻는다. 여기서 $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$를 이용하면 $$\begin{align}&-\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left[\frac{\tan x+\sin x}{\sin\left(\frac{\tan x+\sin x}{2}\right)}\cdot\frac{\tan x-\sin x}{\sin\left(\frac{\tan x-\sin x}{2}\right)}\right]\\[5pt]&=-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=-2\end{align}$$이 된다. 따라서 답은 ① $-2$이다.
[풀이 2] 이번에는 평균변화율과 평균값 정리를 이용해 문제에 접근한다.
우선, 극한 $\lim \limits_{x\to 0}$을 제외한 부분에서 평균변화율의 형태를 만들기 위해 함수를 $$f(t)=\cos\bigl(\sqrt{t}\bigr) \quad (t\geq 0)$$로 잡는다. 그러면 $$\frac{\tan^2 x-\sin^2 x}{\cos(\tan x)-\cos(\sin x)}=\frac{1}{\,\,\dfrac{f({\color{#ee2323}\tan^2 x})-f({\color{#006dd7}\sin^2 x})}{{\color{#ee2323}\tan^2 x}-{\color{#006dd7}\sin^2 x}}\,\,}$$이 되어, $t$가 $\tan^2 x$에서 $\sin^2 x$로 변할 때의 $f(t)$의 평균변화율을 포함하는 식이 된다.
다음으로 평균값 정리를 적용해야 하는데, 그 전에 몇 가지 조건을 빠르게 확인한다. 일단, $f(t)$는 두 함수 $g(t)=\cos t$와 $h(t)=\sqrt{t} \, (t \geq 0)$의 합성인데, $g(t)$와 $h(t)$ 모두 각각의 정의역에서 연속이므로 $f(t)$는 연속함수이다. 또한 $g(t)$는 정의역 전체에서 미분가능하고 $h(t)$는 0을 제외한 영역에서 미분가능하므로, $f(t)$는 적어도 [0을 제외한 영역]에서 미분가능하다. 따라서 0을 끝점으로 가지는 정의역 내의 구간에서 평균값 정리를 적용할 수 있다. 이로부터 얻을 수 있는 결론은 $$\frac{f(\tan^2 x)-f(\sin^2 x)}{\tan^2 x-\sin^2 x}=f'(c)$$를 만족시키는 $c$가 $\tan^2 x$와 $\sin^2 x$ 사이에 존재한다는 것. 문제의 극한은 $$\lim_{x\to 0}\frac{1}{f'(c)}$$이 된다.
이제 알아야 할 것은 $\lim \limits_{x\to 0}f'(c)$인데, $x$에 따른 $c$의 값을 특정하기 어렵기 때문에 이 극한을 직접 계산하기는 어렵다. 대신, $x$가 0으로 갈 때 $\tan^2 x$와 $\sin^2 x$의 사잇값인 $c$ 역시 0으로 간다(정확히 말하면, 0보다 큰 값을 가지면서 0으로 간다)는 점에 착안해서 $\lim \limits_{t\to 0+}f'(t)$을 계산한다. 이 극한이 수렴하면 $\lim \limits_{x\to 0}f'(c)$도 같은 값으로 수렴할 것이다.
합성함수의 미분법을 사용하면 0보다 큰 실수 영역에 대한 $f(t)$의 도함수 $$f'(t)=-\frac{\sin\bigl(\sqrt{t}\bigr)}{2\sqrt{t}}$$를 구할 수 있으므로 $$\begin{align}\lim_{t\to 0+}f'(t)&=\lim_{t\to 0+}\frac{\sin\bigl(\sqrt{t}\bigr)}{-2\sqrt{t}}\\[5pt]&=-\frac{1}{2}\end{align}$$임을 알 수 있다. 따라서 문제의 극한값은 $\lim \limits_{t\to 0+}\dfrac{1}{f'(t)}=-2$이고, 답은 ①번이다. (논리를 구구절절 풀어 적어서 길어졌지만, 실질적인 계산과정만 놓고 보면 [풀이 1]보다도 빠른 풀이다.)