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1. $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{e^{6x}-e^{2x}}{2x}$의 값은? [2점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
더보기[리뷰] 2020학년도 수능이나 9월 평가원 모의고사에서 2점짜리 문제로 등장했던 형태의 극한. 어려운 건 아니지만, 기본 중의 기본이 되는 2점짜리 치고는 의외로 곱씹어볼 거리가 있는 문제다. 일단 풀이방법부터 한 가지가 아니다.
답: ② $2$
[풀이 1] 가장 정석적인 풀이방법이라 한다면, $$\bbox[#FFFFCC,2pt]{\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x}-1}{x}=1} \quad \cdots (\ast)$$을 이용하는 것이다. (여기서 기억할 것은, 0으로 수렴하는 것이라면 $x$ 대신에 어떤 식이라도 넣을 수 있다는 것이다. 예를 들어, $x \to 0$일 때 $\sin x-\tan x \to 0$이므로 $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{e^{{\color{#ee2323}\sin x-\tan x}}-1}{{\color{#ee2323}\sin x-\tan x}}=1$이 된다.)
이제 $(\ast)$을 적용할 수 있도록 문제의 식을 변형한다. $$\begin{align}\lim_{x \to 0}\frac{e^{6x}-e^{2x}}{2x}&=\lim_{x \to 0}\frac{e^{6x}{\color{#ee2323}-1}-e^{2x}{\color{#ee2323}+1}}{2x}\\[5pt]&=\lim_{x \to 0}\frac{(e^{6x}-1)-(e^{2x}-1)}{2x}\\[5pt]&=\lim_{x \to 0}\left(\frac{e^{6x}-1}{2x}-\frac{e^{2x}-1}{2x}\right)\\[5pt]&=\lim_{x \to 0}\left(\bbox[#FFFFCC,2pt]{\frac{e^{6x}-1}{{\color{#ee2323}6x}}}\cdot\frac{{\color{#ee2323}6x}}{2x}-\bbox[#FFFFCC,2pt]{\frac{e^{2x}-1}{2x}}\right)\end{align}$$
여기서 $(\ast)$을 적용하면, $$\begin{align}\lim_{x \to 0}\left(\cancelto{1}{\bbox[#FFFFCC,2pt]{\frac{e^{6x}-1}{6x}}}\cdot\cancelto{3}{\frac{6x}{2x}}-\cancelto{1}{\bbox[#FFFFCC,2pt]{\frac{e^{2x}-1}{2x}}}\right)&=\bbox[#FFFFCC,2pt]{1}\cdot 3-\bbox[#FFFFCC,2pt]{1}\\[5pt]&=2\end{align}$$을 얻는다. 따라서 답은 ②번이 된다.
[풀이 2] 이렇게 변형하는 것도 가능하다. 분자를 $e^{2x}$로 묶는 것인데, 그러면 문제의 식은 $$\lim_{x \to 0}\left(e^{2x}\cdot\frac{e^{4x}-1}{2x}\right)$$이 된다.
여기서 $(\ast)$을 이용하면 $$\begin{align}\lim_{x\to 0}\left(e^{2x}\cdot\frac{e^{4x}-1}{2x}\right)&=\lim_{x \to 0}\left(e^{2x}\cdot\bbox[#FFFFCC,2pt]{\frac{e^{4x}-1}{{\color{#ee2323}4x}}}\cdot\frac{{\color{#ee2323}4x}}{2x}\right)\\[5pt]&=1\cdot \bbox[#FFFFCC,2pt]{1}\cdot 2\\[5pt]&=2\end{align}$$임을 알 수 있다. 답은 ②번.
[풀이 3] 이번엔 주어진 식의 분자를 통째로 함수 $f(x)$로 정의한다. 즉, $f(x)=e^{6x}-e^{2x}$로 정의하는 것이다. 그러면 $f(0)=0$이 되기 때문에 주어진 식을 $$\begin{align}\lim_{x \to 0} \frac{e^{6x}-e^{2x}}{2x}&=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{2x}\\[5pt]&=\lim_{x \to 0}\left(\frac{f(x)-f(0)}{{\color{#ee2323}x-0}}\cdot\frac{{\color{#ee2323}x}}{2x}\right)\end{align}$$로 변형할 수 있다. 여기서 $\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$를 미분계수로 이해하면, $$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$$이 된다. 이때, $f'(x)=6e^{6x}-2e^{2x}$이므로 $f'(0)=4$이다.
이 결과를 전체식에 대입해주면 $$\begin{align}\lim_{x \to 0}\frac{e^{6x}-e^{2x}}{2x}&=f'(0)\cdot\lim_{x \to 0}\frac{x}{2x}\\[5pt]&=4\cdot \frac{1}{2}=2\end{align}$$이다. 따라서 답은 ②번.
[풀이 4] 다음 풀이는 정규교육과정엔 없지만 수험생이라면 대부분 알고 있는 '로피탈의 정리(L'Hospital's rule)'를 이용하는 방법. 평가원이 작정하면 로피탈의 정리를 쓸수록 식이 더 복잡해지는 문제를 만드는 건 일도 아니지만, 이런 2점짜리 문제에까지 하나하나 힘을 주지는 않는다. 마치 '이 정도는 봐줄 테니까 쓰고 싶으면 써라.' 하고 던져주는 느낌.
식의 분모와 분자를 각각 미분하여 $$\lim_{x \to 0}\frac{e^{6x}-e^{2x}}{2x}=\lim_{x \to 0}\frac{(e^{6x}-e^{2x})'}{(2x)'}$$를 얻는 게 풀이의 핵심이다. 이후 과정은 간단하다. $$\begin{align}\lim_{x \to 0}\frac{(e^{6x}-e^{2x})'}{(2x)'}&=\lim_{x \to 0}\frac{6e^{6x}-2e^{2x}}{2}\\[5pt]&=\frac{6e^0-2e^0}{2}\\[5pt]&=\frac{6-2}{2}=2\end{align}$$
따라서 답은 ②번이다.
[풀이 5] 이 문제는 '평균값 정리(Mean value theorem)'로도 접근할 수 있다.
함수 $f(x)$가
폐구간 $[a,\, b]$에서 연속이고
개구간 $(a,\, b)$에서 미분가능하면 $$\frac{f({\color{#ee2323}b})-f({\color{#006dd7}a})}{{\color{#ee2323}b}-{\color{#006dd7}a}}=f'(c) \quad (a<c<b)$$를 만족하는 $c$가 적어도 하나 존재한다.
쉽게 말해서, 함수 $f(x)$가 어떤 구간에서 연속이고 미분가능하면, 그 구간의 평균변화율과 동일한 값의 순간변화율을 가지는 지점이 그 구간 내부에 존재한다는 것이다. 그런데 $f(x)=e^x$이라는 함수는 실수 전체의 집합에서 연속이며 미분가능하다. 그러니 $$\frac{f({\color{#ee2323}6x})-f({\color{#006dd7}2x})}{{\color{#ee2323}6x}-{\color{#006dd7}2x}}=f'(c)$$를 만족하는 $c$가 $6x$와 $2x$ 사이에 존재하는 것이다.
그런데 $x \to 0$일 때, $6x$와 $2x$ 모두 0으로 수렴하므로 둘 사이에 존재하는 $c$ 역시 0으로 수렴한다. 따라서 $$\begin{align}\lim_{x \to 0}\frac{f(6x)-f(2x)}{6x-2x}&=\lim_{x \to 0}f'(c)\\[5pt]&=\lim_{x \to 0}e^c=1\end{align}$$을 얻는다.
이 결과를 문제의 식에 대입하면 $$\begin{align}\lim_{x \to 0}\frac{e^{6x}-e^{2x}}{2x}&=\lim_{x \to 0}\left(\cancelto{1}{\frac{f(6x)-f(2x)}{{\color{#ee2323}6x-2x}}}\cdot\cancelto{2}{\frac{{\color{#ee2323}6x-2x}}{2x}}\right)\\[5pt]&=1\cdot 2=2\end{align}$$이다. 따라서 답은 ②번이다.