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3.
의 값은? [3점]①
② ③ ④ ⑤더보기[리뷰] 이 문제는 <극한 문제 #2>와 비교해서 보면 흥미롭다.
의 형태를 포함하고 있다는 점에서는 같지만 난이도는 한결 쉬워졌고, 한편으론 <극한 문제 #2>의 풀이방법이 제한적인 이유를 다시 한 번 생각해보게 한다. 또한 미분법 공식과 관련해서도 생각해볼 거리가 있다.답: ②
[풀이 1] 삼각함수의 극한과 관련된 문제를 풀 때 기억해야 할 기본 공식으로
와 가 있는데, 이 문제는 이 공식들만으로 해결이 가능하다. (반각공식 대신에 를 사용해도 된다.)우선 해야 할 것은 식의 분자를 적절히 변형하여
또는 의 곱을 포함하는 식으로 만드는 작업이다:다음으로 분모와 분자에 적절한 형태의 식을 넣어 위의 기본 공식들을 활용하기 쉽도록 한다:
이제 남은 작업은 극한을 취하는 것이다:
따라서 답은 ② 이다.
[참고 1]
이로부터 알 수 있는 한 가지 사실은
이 0 아닌 값으로 수렴하려면 이어야 한다는 것.
[참고 2]
이런 이유 때문에 <극한 문제 #2>를 풀 때 분모와 분자에 꼴의 식을 곱해 분수식을 둘로 나눈 다음각 분수식의 극한을 따로 구해 문제를 해결하려면
이어야 한다. 그러나 의 값을 구하는 게 쉽지 않기 때문에 이 접근법은 또 한 번 난관에 봉착하게 된다.
[풀이 2] 이번에는 식을 미분계수의 형태로 바꾸어 계산을 시도한다. 풀이가 긴 관계로 단계를
, , , 로 나누어 진행한다. (과정이 지나치게 길어 효율적인 풀이는 아니므로, 원한다면 건너뛰어도 된다.) 미분계수의 형태 만들기한 가지 방법만 있지는 않겠지만, 여기서는 분모의
를 로 치환하기로 한다. 그러면 일 때 이고, 이므로 문제의 식은 이 된다. 삼각함수 안에 거듭제곱근이 들어있는 모양새가 볼썽사납긴 하지만, 일단 미분계수의 형태는 맞다.이제
로 두면 이 된다. 남은 문제는 를 계산하는 것. 계산하기: 합성함수의 미분법(시행착오)우선,
를 미분해서 를 얻은 다음 을 대입하는 전략을 시도해본다. 는 와 를 합성한 함수 로 이해할 수 있으므로, 합성함수의 미분법을 사용하면 을 얻는다. 그런데 여기에 을 대입하려고 보니 분모가 이 된다. 게다가 는 분자와 약분해서 없앨 수 있는 형태도 아니다. 그러면 는 에서 정의가 되지 않는 걸까?결론부터 말하면 '아니오'다. 합성함수의 미분법이라는 것은 함수
의 에서의 미분계수를 와 같이 얻은 뒤 를 일반화한 것인데, 이때 극한의 형태가 와 같은 부정형 꼴이면 등식의 중간에 있는 이 성립하지 않는다. 이 경우, 실제로는 가 존재한다 할지라도 합성함수의 미분법으로 구한 도함수 식에 를 대입하는 것으로는 결과를 얻을 수 없다.이 문제에서는
이고 이므로 를 이용할 수 없다. 따라서 을 계산하려면 다른 전략이 필요하다. 계산하기: 평균값 정리이번에는 평균값 정리를 이용한다. 구하려는 극한은
부분을 제외하면이라는 평균변화율의 형태이므로 평균값 정리를 적용하기에 적절하다. 게다가
는 실수 전체의 집합에서 연속이고, 0 아닌 점에서 미분가능하므로 0을 끝점으로 가지는 구간에서 평균값 정리를 사용할 수 있다. (이유: 는 실수 전체의 집합에서 연속이고 미분가능하다. 는 실수 전체에서 연속이고, 0 아닌 점에서 미분가능하다. 그런데 어떤 점에서 연속인 두 함수의 합성함수는 그 점에서 연속이며, 어떤 점에서 미분가능한 두 함수의 합성함수 역시 그 점에서 미분가능하므로, 는 실수 전체의 집합에서 연속이고, 0을 제외한 점에서 미분가능하다.) 따라서 이 아닌 에 대해 를 만족시키는 가 과 사이에 존재하는 것이다.남은 것은
일 때 가 어느 값으로 수렴하는지를 알아내는 일이다. 계산하기:알고 싶은 것은
이지만 계산하는 것은 이다. 가 0으로 갈 때 역시 0으로 가기에, 이 수렴하면 역시 같은 값으로 수렴할 것이기 때문이다.합성함수의 미분법에 의하면
아닌 에 대해 이 성립하므로, 구하고자 하는 극한은 이다. 이때 계산을 용이하게 하기 위해 로 다시 한 번 치환하면 이 되는데, 분자를 로 변형할 수 있으므로, 전체 극한은 이 된다.따라서 답은 ②
이다.
[풀이 3] 로피탈의 정리를 이용해도 이 문제를 꽤 간단히 해결할 수 있다. (평가원이 달가워하지 않을 요소다.)
우선, 주어진 극한이
꼴의 극한임을 확인한 뒤 로피탈의 정리를 적용해 분모와 분자를 각각 미분하여를 얻는다. (
는 [풀이 2]에서 '치환하고, 평균값 정리를 적용한 다음, 다시 치환을 하는' 긴 과정을 거친 다음에야 다다른 지점인데, 이번에는 단숨에 도달했다. 로피탈의 정리가 얼마나 효율적인지 새삼 느낄 수 있다.)여기서 로피탈의 정리를 한 번 더 적용하면
을 얻는다. 따라서 답은 ②
이다.