극한 문제 #1

1. 의 값은? [2점]

 

①           ②           ③           ④           ⑤

 

 

 

[리뷰] 2020학년도 수능이나 9월 평가원 모의고사에서 2점짜리 문제로 등장했던 형태의 극한. 어려운 건 아니지만, 기본 중의 기본이 되는 2점짜리 치고는 의외로 곱씹어볼 거리가 있는 문제다. 일단 풀이방법부터 한 가지가 아니다.

답: ②

 

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[풀이 1] 가장 정석적인 풀이방법이라 한다면, 을 이용하는 것이다. (여기서 기억할 것은, 0으로 수렴하는 것이라면 대신에 어떤 식이라도 넣을 수 있다는 것이다. 예를 들어, 일 때 이므로 이 된다.)

이제 $$을 적용할 수 있도록 문제의 식을 변형한다. $$

여기서 $$을 적용하면, $$을 얻는다. 따라서 답은 ②번이 된다.

 

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[풀이 2] 이렇게 변형하는 것도 가능하다. 분자를 $$로 묶는 것인데, 그러면 문제의 식은 $$이 된다.

여기서 $$을 이용하면 $$임을 알 수 있다. 답은 ②번.

 

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[풀이 3] 이번엔 주어진 식의 분자를 통째로 함수 $$로 정의한다. 즉, $$로 정의하는 것이다. 그러면 $$이 되기 때문에 주어진 식을 $$로 변형할 수 있다. 여기서 $$를 미분계수로 이해하면, $$이 된다. 이때, $$이므로 $$이다.

이 결과를 전체식에 대입해주면 $$이다. 따라서 답은 ②번.

 

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[풀이 4] 다음 풀이는 정규교육과정엔 없지만 수험생이라면 대부분 알고 있는 '로피탈의 정리(L'Hospital's rule)'를 이용하는 방법. 평가원이 작정하면 로피탈의 정리를 쓸수록 식이 더 복잡해지는 문제를 만드는 건 일도 아니지만, 이런 2점짜리 문제에까지 하나하나 힘을 주지는 않는다. 마치 '이 정도는 봐줄 테니까 쓰고 싶으면 써라.' 하고 던져주는 느낌.

식의 분모와 분자를 각각 미분하여 $$를 얻는 게 풀이의 핵심이다. 이후 과정은 간단하다. $$

따라서 답은 ②번이다.

 

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[풀이 5] 이 문제는 '평균값 정리(Mean value theorem)'로도 접근할 수 있다.

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함수 $$가
폐구간 $$에서 연속이고
개구간 $$에서 미분가능하면 $$를 만족하는 $$가 적어도 하나 존재한다.

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쉽게 말해서, 함수 $$가 어떤 구간에서 연속이고 미분가능하면, 그 구간의 평균변화율과 동일한 값의 순간변화율을 가지는 지점이 그 구간 내부에 존재한다는 것이다. 그런데 $$이라는 함수는 실수 전체의 집합에서 연속이며 미분가능하다. 그러니 $$를 만족하는 $$가 $$와 $$ 사이에 존재하는 것이다.

그런데 $$일 때, $$와 $$ 모두 0으로 수렴하므로 둘 사이에 존재하는 $$ 역시 0으로 수렴한다. 따라서 $$을 얻는다.

이 결과를 문제의 식에 대입하면 $$이다. 따라서 답은 ②번이다.