2021학년도 경찰대 수학 25번

25. 좌표평면 위에 5개의 점 $P_1(-2,1)$, $P_2(-1,2)$, $P_3(0,3)$, $P_4(1,2)$, $P_5(2,4)$가 있다. 점 $P_i(i=1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5)$의 $x$좌표를 $x_i$, $y$좌표를 $y_i$라 할 때, $\displaystyle \sum_{i=1}^5 (ax_i+b-y_i)^2$의 값이 최소가 되도록 하는 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오. [5점]

 

 

[리뷰] 외형상 이 문제는 대학에서 배우는 '선형회귀분석(linear regression analysis)'과 '최소제곱법(least squares method)'에 그 기반을 두고 있다. 난이도를 높이기 위해 인위적으로 만들어낸 문제가 아니라 실제로 대학에서 공부하고 또 사용하는 내용을 가져다가 그대로 문제로 만든 것. 대학에서 배우는 내용과의 연계가 두드러진 문제라 하겠다.

물론 문제 자체를 푸는 데 학부 수준의 배경지식은 조금도 필요하지 않다. 그저 당황하지 않고 차분하게 계산을 해나가다 보면 고등학교 지식만으로도 어렵지 않게 답을 얻을 수 있다.

답: $3$

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[풀이] 식을 전개한 뒤 정리한다. (이때 $x_i$와 $y_i$가 상수이고 $a$와 $b$가 변수에 해당하므로 식을 $a$, $b$에 관해 정리해준다.)

$$\begin{align} &\sum_{i=1}^5 (ax_i+b-y_i)^2\\&=\sum_{i=1}^5 (a^2 x_i^2 +b^2 +y_i^2 +2x_i ab -2y_i b -2x_i y_i a)\\&= \left({\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 x_i^2}\right)a^2+5b^2+\sum_{i=1}^5 y_i^2 +2\left({\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 x_i}\right)ab -2\left({\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 y_i} \right)b -2\left({\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 x_i y_i} \right)a\end{align}$$

이제 $x_i$, $y_i$와 관련된 부분을 처리해준다:

$$\begin{align} &{\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 x_i^2} = (-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2=10\\&{\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 x_i} = (-2)+(-1)+0+1+2=0\\&{\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 y_i}  = 1+2+3+2+4= 12\\&{\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 x_i y_i} = (-2)\cdot 1+(-1)\cdot 2 +0\cdot 3 + 1\cdot 2 + 2\cdot 4= 6 \end{align}$$

이 값들을 위의 식에 대입해주면 문제의 식은

$$10a^2+5b^2-12a-24b+\text{(상수항)}$$

이 되고, 이를 $a$와 $b$에 관한 완전제곱식의 형태로 각각 정리해주면

$$10\left(a-\frac{3}{5}\right)^2+5\left(b-\frac{12}{5}\right)^2+\text{(상수항)}$$

의 형태가 되므로 $a=\dfrac{3}{5}$, $b=\dfrac{12}{5}$일 때 식의 값이 최소가 된다. 따라서 $a+b=\dfrac{3}{5}+\dfrac{12}{5}=3$이다.

 

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[참고 1] 위 풀이에서 $\displaystyle \sum_{i=1}^5 y_i^2$은 상수항에 해당되고 이는 답에 영향을 미치지 않으므로 풀이시간을 줄이려는 목적으로 일부러 계산하지 않았다.

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[참고 2] 시작부터 $x_i$와 $y_i$의 값을 대입한 뒤 식을 전개하는 것보다, 식을 먼저 전개해서 정리한 뒤 $x_i$, $y_i$를 대입하는 것이 풀이시간을 단축하는 데 도움이 된다.

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[참고 3(교육과정 외)] 선형대수학에서 최소제곱문제(least squares problem)를 해결하는 방법은 다음과 같다:

잠시 문제의 요구를 바꿔서 $\displaystyle \sum_{i=1}^5 (ax_i+b-y_i)^2$의 값을 $0$으로 만드는 $a$, $b$를 찾아야 한다고 생각하자. 그러면 $a$, $b$는 다음의 연립방정식

$$\left\{ \begin{array}{rr} \,\,1=&-2a+b\\2=&-a+b\\3=&b\\2=&a+b\\4=&2a+b\end{array} \right. \,\, \quad \cdots \quad (\ast) $$

을 만족시켜야 한다. (물론 이 방정식은 해를 갖지 않는다.) 이를 행렬을 사용하여 표현하면

$$\mathbf{y}=\left[ \begin{array}{c} 1\\2\\3\\2\\4 \end{array} \right],\quad A=\left[ \begin{array}{rc}-2&1\\-1&1\\0&1\\1&1\\2&1\end{array} \right],\quad \mathbf{x}=\left[ \begin{array}{c} a\\b \end{array} \right]$$

라 할 때

$$\mathbf{y}=A\mathbf{x}$$

라는 행렬방정식이 된다. 이때 위 방정식으로부터 파생된 다음의 정규방정식(normal equation)

$$A^{T}\mathbf{y}=A^{T}A\mathbf{x}$$

을 풀면 $(\ast)$을 이루는 방정식 각각의 (좌변)과 (우변)의 차의 제곱의 합으로 정의된 오차 ― 즉, $\displaystyle \sum_{i=1}^5 (ax_i+b-y_i)^2$ ― 를 최소화하는 $a, b$를 구할 수 있다.

$$\begin{align}&A^{T}\mathbf{y}=\left[ \begin{array}{rrrrr} -2&-1&0&1&2\\1&1&1&1&1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\2\\3\\2\\4\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} 6\\12 \end{array} \right] \\[5pt]&A^{T}A =\left[\begin{array}{rrrrr}-2&-1&0&1&2\\1&1&1&1&1\end{array} \right] \left[\begin{array}{rr}-2&1\\-1&1\\0&1\\1&1\\2&1\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} 10&0\\0&5\end{array}\right]\end{align}$$

이므로

$$\left[ \begin{array}{c} 6\\12 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 10&0\\0&5\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} a\\b \end{array} \right]$$

$$\therefore a=\frac{3}{5},\,b=\frac{12}{5}$$

 

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[참고 4(교육과정 외)] 최소제곱문제(least squares problem)를 해결하는 또 다른 방법으로 편미분(partial differentiation)을 이용하는 방법도 있다. $\displaystyle \sum_{i=1}^5 (ax_i+b-y_i)^2$을 $a$와 $b$에 관해 각각 편미분한 뒤, 그 값이 모두 $0$이 되도록 하는 $a$, $b$를 찾으면 된다.

$$S=\sum_{i=1}^5 (ax_i+b-y_i)^2$$

라고 정의할 때

$$\begin{align}&\frac{\partial S}{\partial a} = \sum_{i=1}^5 2(ax_i+b-y_i)x_i \\& \quad \,\,\,\,=2\left[ \left({\color{#006dd7} \sum_{i=1}^5 x_i^2}\right)a+\left({\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 x_i }\right)b-\left({\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 x_i y_i }\right) \right] \\&\frac{\partial S}{\partial b} = \sum_{i=1}^5 2(ax_i+b-y_i) \\& \quad \,\,\,\,= 2\left[\left({\color{#006dd7} \sum_{i=1}^5 x_i }\right)a+5b-\left({\color{#006dd7}\sum_{i=1}^5 y_i }\right) \right] \end{align}$$

이므로 $x_i$, $y_i$의 값을 대입한 뒤 $\dfrac{\partial S}{\partial a}$와 $\dfrac{\partial S}{\partial b}$가 모두 $0$이 되도록 하는 $a$, $b$를 찾으면

$$ 10a -6= 0,\,\, 5b -12 = 0$$

$$\therefore a=\frac{3}{5},\, b=\frac{12}{5}$$