삼각함수의 적분 모음 #4

(※본 포스트에서 $C$는 적분상수를 의미)

혼합형Ⅱ(다항함수와 삼각함수)

$$\bbox[#FFFFCC,2pt]{41.} \int x\sin x \,dx = -x\cos x +\sin x +C$$

<풀이>

$$\begin{align}\int x\sin x \,dx &= x(-\cos x)-\int (-\cos x)\,dx \\[5pt]&= -x\cos x +\sin x +C \quad \blacksquare \end{align}$$

 

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$$\bbox[#FFFFCC,2pt]{42.} \int x\cos x \,dx = x\sin x + \cos x +C$$

<풀이>

$$\begin{align} \int x\cos x \,dx &= x\sin x - \int \sin x \,dx \\[5pt]&= x\sin x + \cos x + C \quad \blacksquare \end{align}$$

 

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$$\bbox[#FFFFCC,2pt]{43.} \int x\tan^2 x \,dx = x\tan x +\ln \left| \cos x \right| -\frac{1}{2}x^2+C$$

<풀이>

$$\begin{align} \int x\tan^2 x \,dx &= \int x(\sec^2 x -1)\,dx \\[5pt]&= \int x\sec^2 x\,dx -\int x\,dx\\[5pt]&= x\tan x - \int \tan x \,dx -\frac{1}{2}x^2 \\[5pt]&= x\tan x +\ln\left| \cos x \right|-\frac{1}{2}x^2 +C \quad \blacksquare \end{align}$$

 

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$$\bbox[#FFFFCC,2pt]{44.} \int x\sec^2 x \,dx = x\tan x +\ln \left| \cos x \right|+C$$

<풀이>

$$\begin{align} \int x\sec^2 x \,dx &= x\tan x -\int \tan x \,dx \\[5pt]&= x\tan x +\ln \left| \cos x \right| +C \quad \blacksquare \end{align}$$

 

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$$\bbox[#FFFFCC,2pt]{45.} \int x\cot^2 x \,dx = -x\cot x + \ln \left| \sin x \right| -\frac{1}{2}x^2+C$$

<풀이>

$$\begin{align} \int x\cot^2 x \,dx &= \int x(\csc^2 x-1) \,dx \\[5pt]&= \int x \csc^2 x \,dx -\int x\,dx \\[5pt]&= x(-\cot x)-\int (-\cot x)\,dx -\frac{1}{2}x^2 \\[5pt]&= -x\cot x +\ln \left| \sin x \right| -\frac{1}{2}x^2 +C \quad \blacksquare \end{align}$$

 

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$$\bbox[#FFFFCC,2pt]{46.} \int x\csc^2 x \,dx = -x\cot x +\ln \left| \sin x \right| +C$$

<풀이>

$$\begin{align} \int x\csc^2 x\,dx &= x(-\cot x)-\int (-\cot x) \,dx \\[5pt]&= -x\cot x +\ln \left| \sin x \right| +C \quad \blacksquare \end{align}$$

 

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혼합형Ⅲ(지수함수와 삼각함수)

$$\bbox[#FFFFCC,2pt]{47.} \int e^x \sin x \,dx = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x)+C$$

<풀이 1>

(지수함수를 적분하고 삼각함수를 미분하는 방향으로) 부분적분법을 두 번 적용하면

$$\begin{align} \int {\color{#006dd7}e^x \sin x} \,dx &= e^x \sin x - \int e^x \cos x \,dx\\[5pt]&= e^x \sin x -e^x \cos x -\int {\color{#006dd7}e^x \sin x} \,dx \end{align}$$

이므로, ${\displaystyle \int {\color{#006dd7}e^x \sin x} \,dx}$끼리 모아 정리하면

$$\begin{align}\int {\color{#006dd7}e^x \sin x} \,dx &= \frac{1}{2}\left( e^x \sin x -e^x \cos x \right) +C\\[5pt]&= \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x)+C \quad \blacksquare \end{align}$$

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<풀이 2>

(삼각함수를 적분하고 지수함수를 미분하는 방향으로) 부분적분법을 두 번 적용하면

$$\begin{align} \int {\color{#006dd7}e^x \sin x} \,dx &= e^x(-\cos x) +\int e^x \cos x \,dx \\[5pt]&= -e^x \cos x + e^x \sin x - \int {\color{#006dd7}e^x \sin x} \,dx \end{align}$$

이므로, ${\displaystyle \int {\color{#006dd7}e^x \sin x} \,dx}$끼리 모아 정리하면

$$\begin{align} \int {\color{#006dd7}e^x \sin x} \,dx &=\frac{1}{2}\left( -e^x \cos x + e^x \sin x\right) +C\\[5pt]&= \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) +C \quad \blacksquare \end{align}$$

 

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$$\bbox[#FFFFCC,2pt]{48.} \int e^x \cos x \,dx = \frac{e^x}{2} (\cos x + \sin x)+C$$

<풀이 1>

(지수함수를 적분하고 삼각함수를 미분하는 방향으로) 부분적분법을 두 번 적용하면

$$\begin{align} \int {\color{#006dd7}e^x \cos x} \,dx &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \,dx \\[5pt]&= e^x \cos x + e^x \sin x -\int {\color{#006dd7}e^x \cos x} \,dx \end{align}$$

이므로, ${\displaystyle \int {\color{#006dd7}e^x \cos x} \,dx}$끼리 모아 정리하면

$$\begin{align} \int {\color{#006dd7}e^x \cos x} \,dx &= \frac{1}{2}\left( e^x \cos x + e^x \sin x \right) +C \\[5pt]&= \frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x) +C \quad \blacksquare \end{align}$$

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<풀이 2>

(삼각함수를 적분하고 지수함수를 미분하는 방향으로) 부분적분법을 두 번 적용하면

$$\begin{align} \int {\color{#006dd7}e^x \cos x} \,dx &= e^x \sin x -\int e^x \sin x \,dx \\[5pt]&= e^x \sin x +e^x \cos x -\int {\color{#006dd7}e^x \cos x} \,dx \end{align}$$

이므로, ${\displaystyle \int {\color{#006dd7}e^x \cos x} \,dx}$끼리 모아 정리하면

$$\begin{align} \int {\color{#006dd7}e^x \cos x} \,dx &= \frac{1}{2}(e^x \sin x +e^x \cos x) +C \\[5pt]&= \frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x ) +C \quad \blacksquare \end{align}$$

 

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