2021학년도 경찰대 수학 25번

25. 좌표평면 위에 5개의 점 $$, $$, $$, $$, $$가 있다. 점 $$ $$ $$ $$ $$의 $$좌표를 $$, $$좌표를 $$라 할 때, $$의 값이 최소가 되도록 하는 두 실수 $$, $$에 대하여 $$의 값을 구하시오. [5점]

 

 

[리뷰] 외형상 이 문제는 대학에서 배우는 '선형회귀분석(linear regression analysis)'과 '최소제곱법(least squares method)'에 그 기반을 두고 있다. 난이도를 높이기 위해 인위적으로 만들어낸 문제가 아니라 실제로 대학에서 공부하고 또 사용하는 내용을 가져다가 그대로 문제로 만든 것. 대학에서 배우는 내용과의 연계가 두드러진 문제라 하겠다.

물론 문제 자체를 푸는 데 학부 수준의 배경지식은 조금도 필요하지 않다. 그저 당황하지 않고 차분하게 계산을 해나가다 보면 고등학교 지식만으로도 어렵지 않게 답을 얻을 수 있다.

답: $$

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[풀이] 식을 전개한 뒤 정리한다. (이때 $$와 $$가 상수이고 $$와 $$가 변수에 해당하므로 식을 $$, $$에 관해 정리해준다.)

$$

이제 $$, $$와 관련된 부분을 처리해준다:

$$

이 값들을 위의 식에 대입해주면 문제의 식은

$$

이 되고, 이를 $$와 $$에 관한 완전제곱식의 형태로 각각 정리해주면

$$

의 형태가 되므로 $$, $$일 때 식의 값이 최소가 된다. 따라서 $$이다.

 

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[참고 1] 위 풀이에서 $$은 상수항에 해당되고 이는 답에 영향을 미치지 않으므로 풀이시간을 줄이려는 목적으로 일부러 계산하지 않았다.

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[참고 2] 시작부터 $$와 $$의 값을 대입한 뒤 식을 전개하는 것보다, 식을 먼저 전개해서 정리한 뒤 $$, $$를 대입하는 것이 풀이시간을 단축하는 데 도움이 된다.

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[참고 3(교육과정 외)] 선형대수학에서 최소제곱문제(least squares problem)를 해결하는 방법은 다음과 같다:

잠시 문제의 요구를 바꿔서 $$의 값을 $$으로 만드는 $$, $$를 찾아야 한다고 생각하자. 그러면 $$, $$는 다음의 연립방정식

$$

을 만족시켜야 한다. (물론 이 방정식은 해를 갖지 않는다.) 이를 행렬을 사용하여 표현하면

$$

라 할 때

$$

라는 행렬방정식이 된다. 이때 위 방정식으로부터 파생된 다음의 정규방정식(normal equation)

$$

을 풀면 $$을 이루는 방정식 각각의 (좌변)과 (우변)의 차의 제곱의 합으로 정의된 오차 ― 즉, $$ ― 를 최소화하는 $$를 구할 수 있다.

$$

이므로

$$

$$

 

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[참고 4(교육과정 외)] 최소제곱문제(least squares problem)를 해결하는 또 다른 방법으로 편미분(partial differentiation)을 이용하는 방법도 있다. $$을 $$와 $$에 관해 각각 편미분한 뒤, 그 값이 모두 $$이 되도록 하는 $$, $$를 찾으면 된다.

$$

라고 정의할 때

$$

이므로 $$, $$의 값을 대입한 뒤 $$와 $$가 모두 $$이 되도록 하는 $$, $$를 찾으면

$$

$$