2021학년도 9월 모의평가 수학 가형 21번

21. 닫힌구간 $[-2\pi,\,2\pi]$에서 정의된 두 함수 $$f(x) = \sin kx +2, \quad g(x) =3\cos 12x$$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 $k$의 개수는? [4점]

실수 $a$가 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 교점의 $y$좌표이면 $$\{x|f(x)=a\} \subset \{x|g(x)=a\}$$이다.

$①\,3$          $②\,4$          $③\,5$          $④\,6$          $⑤\,7$

 

 

 

[리뷰] 삼각함수의 주기성과 대칭성을 적극적으로 활용해야 하는 문제. 답을 어찌어찌 구할 수는 있으나 시험시간 내에 딱 떨어지는 깔끔한 풀이/논리를 떠올리기는 쉽지 않았을 듯하다. 그만큼 삼각함수를 소재로 한 기존의 전형적인 문제와는 거리가 있었다. 그래서인지 ebs 해설을 비롯해서 인터넷으로 찾아 본 해설들 중 다수가 다음의 논리적인 비약

---

$$\left.\begin{array}{c}\cos\left(\dfrac{12\pi}{k}-12\alpha\right)=\cos 12\alpha\text{이면 }\\ \dfrac{12\pi}{k}=2n\pi\,\text{(단, }n\text{은 정수)이다.}\end{array}\right.$$

---

을 포함하고 있었다. (실제로는 $\dfrac{12\pi}{k}=2n\pi+24\alpha$인 경우도 위의 등식을 만족시키기 때문에 이 경우를 왜 배제시키는지에 대한 근거가 필요하다.) 뭐, 수능이 풀이과정까지 따지는 시험은 아니니까 답만 잘 나왔으면 되지...싶긴 하지만.

하여튼 풀고 나서도 뭔가 개운치 않은 문제다.

답: $②\,4$

---

[풀이]

$y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프의 교점의 $x$좌표 중 $0$보다 크거나 같은 것들 가운데 가장 작은 것을 $\alpha_0$이라 하자. 그러면

$$0<\alpha_0 < \dfrac{\pi}{24} \tag{1}$$

이다.

"$\alpha_0$은 $0$보다 크고 $\dfrac{\pi}{24}$보다 작다."

이제 $f(\alpha_0)=a_0$이라 하면 사인함수의 대칭성(또는 보각공식)에 의해 $x=\dfrac{\pi}{k}-\alpha_0$ 역시 $f(x)=a_0$의 근이다.

"$x=\dfrac{\pi}{k}-\alpha_0$ 역시 $f(x)=a_0$의 근이다."

그런데 문제의 조건을 만족하려면 $x=\dfrac{\pi}{k}-\alpha_0$은 $g(x)=a_0$의 근이기도 해야 한다. 이때, $g(x)=a_0$의 근은 $x=\dfrac{n\pi}{6}\pm\alpha_0$ (단, $n$은 정수)이므로 $$\dfrac{\pi}{k}-\alpha_0=\dfrac{n\pi}{6} \pm \alpha_0$$이어야 한다.

"$g(x)=a_0$의 근은 $x=\dfrac{n\pi}{6}\pm\alpha_0$(단, $n$은 정수)이다."

 

$(\mathrm{i})$ $\dfrac{\pi}{k}-\alpha_0=\dfrac{n\pi}{6}-\alpha_0$인 경우

식을 정리하면 $$kn=6$$이 되는데, 이때 $k$는 자연수이고 $n$은 정수이므로 $k$는 $6$의 양의 약수, 즉 $1$, $2$, $3$, $6$ 중에 존재한다.

역으로 $k$가 $6$의 양의 약수, 즉 $\left(\dfrac{6}{n}\right)$꼴의 자연수라 하면, $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프의 임의의 교점의 $x$좌표를 $\alpha$라 하고 $m$을 임의의 정수라 할 때, $f(x)=f(\alpha)$의 근은

$$x=\dfrac{2m\pi}{k}+\alpha=\dfrac{2mn\pi}{6}+\alpha$$

또는

$$x=\dfrac{(2m+1)\pi}{k}-\alpha=\dfrac{(2m+1)n\pi}{6}-\alpha$$

이므로 $g(x)=g(\alpha)$의 해집합

$$\Bigl\{ x\,\Bigl|\,x=\frac{n\pi}{6}\pm\alpha,\Bigr.\,n\text{은 정수} \Bigr\}$$

에 속함을 알 수 있다. 따라서 $k=1$, $2$, $3$, $6$은 문제의 조건을 만족한다.

 

$(\mathrm{ii})$ $\dfrac{\pi}{k}-\alpha_0=\dfrac{n\pi}{6}+\alpha_0$인 경우

어떤 정수 $n$에 대하여 $\dfrac{\pi}{k}-\alpha_0=\dfrac{n\pi}{6}+\alpha_0$이면, $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프는 위 그림에서와 같이 $\dfrac{\pi}{k}-3\alpha_0 < x < \dfrac{\pi}{k}-\alpha_0$인 영역(위 그림의 빗금친 영역 중 오른쪽)에서도 교점을 갖는다. 이 교점의 $x$좌표를 $\beta$라 하면

$$\dfrac{\pi}{k}-3\alpha_0 < \beta < \dfrac{\pi}{k}-\alpha_0\tag{2}$$

이다. 이제 사인함수의 대칭성(또는 보각공식)에 의해 방정식 $f(x)=f(\beta)$는 $x=\dfrac{\pi}{k}-\beta$ 역시 근으로 가지는데, 이때 $(1)$, $(2)$에 의해

$$\alpha_0 < \dfrac{\pi}{k}-\beta < 3\alpha_0 < \dfrac{\pi}{8}$$

이므로 $g\left(\dfrac{\pi}{k}-\beta\right) < g(\alpha_0) < g(\beta)$이다. 즉, $x=\dfrac{\pi}{k}-\beta$는 $g(x)=g(\beta)$의 근이 아니기에 $(\mathrm{ii})$는 문제의 조건을 만족시키지 않는다.

 

$(\mathrm{i})$, $(\mathrm{ii})$로부터 문제의 조건을 만족하는 자연수 $k$는 $k=1$, $2$, $3$, $6$뿐임을 알 수 있다. 따라서 조건을 만족하는 자연수 $k$의 개수는 $4$이다. 답은 $②$.

 

---

[참고] $k=1, 2, 3, 6$인 경우의 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프

$k=6$인 경우

$k=3$인 경우

$k=2$인 경우

$k=1$인 경우